Hagan juego!!!

Hace unos días, navegando por youtube, me encontré con un interesante problema de probabilidad que, al parecer, cayó en un examen de oposiciones de matemáticas para secundaria en Cataluña, en el 2000. Si queréis ver el vídeo, pulsad aquí.

Este es, más o menos, el enunciado:

Tres personas A, B, C, tiran sucesivamente, por este orden, un dado. Gana la primera que saque un seis. ¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada una de ellas?

Si veis el vídeo comprobaréis que el autor resuelve el problema utilizando series, lo cual es estupendo, pero a mí se me ha ocurrido otra manera que quería compartir aquí.

Veamos, la probabilidad de que gane A la partida se puede calcular determinando la probabilidad de que gane en la primera tirada o que no lo haga ni A ni B ni C, multiplicando esta última por la probabilidad de que A gane la partida, ya que la situación vuelve a ser idéntica a la inicial. Es decir: P\left( A \right) =\frac { 1 }{ 6 } +{ \left( \frac { 5 }{ 6 }  \right)  }^{ 3 }P\left( A \right)

Razonando de manera análoga: P\left( B \right) =\frac { 5 }{ 6 } \frac { 1 }{ 6 } +{ \left( \frac { 5 }{ 6 }  \right)  }^{ 3 }P\left( B \right)

y

P\left( C \right) ={ \left( \frac { 5 }{ 6 }  \right)  }^{ 2 }\frac { 1 }{ 6 } +{ \left( \frac { 5 }{ 6 }  \right)  }^{ 3 }P\left( C \right) 

 

Ahora es fácil despejar de cada ecuación las probabilidades buscadas:

P(A)=\frac { { 6 }^{ 2 } }{ { 6 }^{ 3 }-{ 5 }^{ 3 } } =\frac { 36 }{ 91 } ,

P(B)=\frac { 5\times 6 }{ { 6 }^{ 3 }-{ 5 }^{ 3 } } =\frac { 30 }{ 91 }  ,

P(C)=\frac { { 5 }^{ 2 } }{ { 6 }^{ 3 }-{ 5 }^{ 3 } } =\frac { 25 }{ 91 }  .

 

Espero que os haya resultado interesante.

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