Bolitas de colorines.

El último Riddler nos propone un interesante problema de probabilidad. He aquí lo que dice:

You play a game with four balls: One ball is red, one is blue, one is green and one is yellow. They are placed in a box. You draw a ball out of the box at random and note its color. Without replacing the first ball, you draw a second ball and then paint it to match the color of the first. Replace both balls, and repeat the process. The game ends when all four balls have become the same color. What is the expected number of turns to finish the game?

 

Así que partimos de una urna con cuatro bolas de distintos colores: RBGY. Es evidente que en el primer paso nos vamos a encontrar con alguna de las siguientes disposiciones:

RRGY, BBGY,  GGRB o cualquier otra distribución en la que aparecen dos bolas del mismo color y otras dos de distinto color. Es decir, que con probabilidad 1 pasamos de una disposición en la que hay cuatro colores a otra en la que hay tres.

Supongamos ahora que estamos en una de dichas situaciones, por ejemplo: RRBY. ¿A qué estados (y con qué probabilidades) podemos pasar en el siguiente paso del proceso?

Está claro que nunca volverá a haber cuatro colores otra vez. Tampoco vamos a llegar, en un paso, a una urna con un solo color. Sólo hay dos posibilidades, a saber: pasar a una disposición en la que sigue habiendo tres colores o a una en la que hay 2 colores.

Veamos, en el paso 2 tenemos la siguiente distribución: RRBY. para pasar a un estado con, otra vez, tres colores, tiene que ocurrir que saquemos primero R y luego R o bien primero B y luego R o bien primero Y y luego R. Cada una de estas posibilidades ocurre con probabilidad (2/4)(1/3), lo cual da un total de 1/2.

Al pasar de un estado tipo RRBY a uno con dos colores voy a distinguir dos casos que me parecen esencialmente distintos. Me explico, hay dos maneras de tener dos colores en la urna:

      a) RRBB o GGRR o YYRR, etc… (Dos pares de bolas con el mismo color cada par)

      b) RRRB o GGGR o YYYR, etc… (Tres bolas con el mismo color y otra con distinto)

Al caso a lo voy a denotar como estado 2(2,2) y al b como 2(3,1). Ya, ya, sé que es una notación horripilante, pero no me apetece romperme demasiado el caletre…

Es fácil calcular que la probabilidad de pasar de un estado 3 (tres colores) a uno de tipo 2(2,2) es 1/3 mientras que la de pasar a uno de tipo 2(3,1) es 1/6.

Un poco de paciencia que estamos terminando!!!

Imaginemos ahora que estamos en un estado tipo 2(2,2). ¿Qué puede pasar? Pues que volvamos a caer en el mismo estado o que pasemos a uno de tipo 2(3,1). Las probabilidades respectivas son 1/3 y 2/3.

Se acerca el final!!!

Ahora tenemos una urna con tres bolas del mismo color y una de distinto, es decir que estamos en un estado tipo 2(3,1). De aquí podríamos: volver al mismo estado, ir a 2(2,2) o llegar a una urna con un solo color, con lo cual se habría terminado el jueguecillo. Las probabilidades correspondientes son 1/2, 1/4 y 1/4 respectivamente.

Espero que el anterior galimatías quede un poco más claro con el siguiente esquema:

2017-04-29 12.26.52

Un poco más de notación: E(i) = “Número esperado de pasos para terminar el juego, partiendo del estado i”, donde i puede tomar los valores 1, 2(2,2), 2(3,1), 3,4 o 1. 

Lo que nos piden es calcular E(4), es decir, el número esperado de pasos para llegar a una urna con un solo color, partiendo de una urna con bolas de cuatro colores distintos.

Digamos ahora que estamos en el estado 3. ¿Cuánto vale E(3)? No lo sé, pero sí sé que se tiene que cumplir la siguiente relación: E(3)=1+E(3)/2+E(2(2,2))+E(2(3,1)). Quien no esté convencido que mire el esquema anterior. Repitiendo el mismo razonamiento llegamos al siguiente sistema:

2017-04-29 12.36.24

Echo mano ahora de Wolfram para resolverlo: 

2017-04-29 12.50.18

Lo que nos interesa es x que, como se puede comprobar, tiene un valor de 19/2.

Mentiría si dijese que estoy completamente convencido de que he llegado al resultado correcto, pero ha sido divertido…

Actualización: Vaya, vaya, parece que he metido la pata. En el esquema que detalla las probailidades de paso de un estado a otro hay que intercambiar un par de probabilidades. Ahora queda así:2017-04-29 12.26.52

Con lo que el sistema correspondiente es:

2017-04-29 22.52.51

Lo mando a Wolfram:

Screenshot_2017-04-29-22-59-25

Así que la respuesta correcta es E(1)=9.

 

 

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