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Números duales

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Hoy me apetecía hablar de un tema del que tengo noticia desde hace poco: los números duales.

Primero veamos lo que son. Sin entrar en demasiados tecnicismos, diré que estos números son una extensión de los números reales, de una manera muy parecida a la de los números complejos. Se trata números que se definen de la forma d=a+be, donde a y b son números reales y e es una “entidad” que cumple que { e }^{ 2 }=0. Y ya está.

Vale, ¿y por qué me parecen tan interesantes estos bichitos? Empecemos por ver cómo se opera con estos números.

Sobre la suma no merece la pena perder mucho el tiempo ya que se hace de la manera obvia. Son más interesantes la multiplicación y la división. 

Multiplicación: \left( a+be \right) \left( c+de \right) =ac+ade+bce+bd{ e }^{ 2 }=ac+\left( ad+bc \right) e ya que { e }^{ 2 }=0.

División: \frac { a+be }{ c+de } =\frac { \left( a+be \right) \left( c-de \right)  }{ \left( c+de \right) \left( c-de \right)  } =\frac { a }{ c } +\frac { bc-ad }{ { c }^{ 2 } } e. Está claro que esto sólo tiene sentido cuando c no es cero.

Pero la pregunta se mantiene: todo esto, ¿para qué sirve? A ver si lo siguiente da una pista:

{ \left( x+ae \right)  }^{ n }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) { \left( ae \right)  }^{ k }{ x }^{ n-k }={ x }^{ n }+na{ x }^{ n-1 }e }  .

¿Se ve ya por dónde van los tiros? En el caso de que la respuesta sea negativa, veamos otro ejemplo. Consideremos la función: f\left( x \right) =\frac { { x }^{ 3 } }{ x+1 }. ¿Qué ocurriría si evaluase f en a+e?

f\left( a+e \right) =\frac { { \left( a+e \right)  }^{ 3 } }{ a+1+e } =\frac { { a }^{ 3 }+3{ a }^{ 2 }e }{ \left( a+1 \right) +e } =\frac { { a }^{ 3 } }{ a+1 } +\frac { 2{ a }^{ 2 }\left( a+1 \right) -{ a }^{ 3 } }{ { \left( a+1 \right)  }^{ 2 } } e

Pues sí, la parte dual del resultado es la derivada de la función f en x=a. Y esto es lo que hace que este tipo de números sean tan interesantes, al menos para mí. Ofrecen una manera de obtener derivadas que no adolece de los defectos y errores de otros métodos con un enfoque más numérico.

Buscando las raíces

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Esta entrada es sobre el método de Newton-Raphson.  Sirve para encontrar las raíces de una función, siempre que se cumplan unas condiciones. Estas no son demnasiado restrictivas y el método es simple e ingenioso…

newton-raphson

La mejor manera de entender el método es gráficamente. En la imagen anterior tenemos la gráfica de la función f\left( x \right)={ x }^{ 3 }-x-1 que tiene una ríz cerca de x=1. Se  empieza eligiendo un número cercano a la raíz que pretendemos aproximar. Se calcula ahora la recta tangente a la función en dicho punto. Pues bien, la siguiente aproximación es el punto de intersección de dicha tangente con el eje de las equis. Con sólo un poco de ágebra se deduce fácilmente la regla que nos da una aproximación en función de la anterior:

{ x }_{ n+1 }={ x }_{ n }-\frac { f\left( { x }_{ n } \right)  }{ f^{ ' }\left( { x }_{ n } \right)  } 

Lo que viene a continuación es una sencilla implementación en python:

En este caso, la función es x^3-2, pero se puede cambiar por otra cualquiera.

 

Una suma complicadilla

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Vuelvo a encontrar un problema interesante en el blog Sobre todo Matemáticas. El problema consiste en encontrar S(2016) para la serie:

expr

Primero se me ocurrió atacar el problema con un sencillo código en Python (en sagemath):

def suma(n):

s = 0
for i in range(1,n+1):
s += 1/(i*(i+1)*(i+2))

return s

El resultado es:  suma(2016)= 508788/2035153.

Con lo cual el asunto estaría resuelto. Pero para hacerlo de una manera más artesanal habría que descomponer en fracciones  \frac { 1 }{ n(n+1)(n+2) } obteniéndose: \frac { 1 }{ n(n+1)(n+2) } =\frac { 1 }{ 2n } -\frac { 1 }{ n+1 } +\frac { 1 }{ 2(n+2) } 

Al hacer la suma en estas condiciones se obtiene, al cancelarse convenientemente muchos términos:

\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k(k+1)(k+2) } =\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2(n+1) } +\frac { 1 }{ 2(n+2) }  }

Ahora sólo hay que sustituir en la expresión anterior y ya está:

s(2016)= 1/4-1/2(2017)+1/2(2018) = 508788/2035153.

Hasta otra!!!!

 

Empecemos!!!!

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Tanques cilíndricos horizontales

tanquehoriz

Hace unos días, al ver pasar uno de esos camiones cisterna que transportan esos enormes tanques cilíndricos, se me ocurrió la pregunta de cómo medir el volumen de líquido que va dentro.

Si el cilindro fuese vertical, el problema sería bien sencillo de resolver.

tanquever

Bastaría con medir la altura que alcanza el líquido y multiplicar por el área de la base. Sencillo. Sin embargo, cuando el depósito está en posición horizontal, la cosa ya no es tan fácil. Pero se puede hacer, claro. Veamos un par de estrategias para resolver el problema.

Cálculo integral:

El siguiente esquema muestra un corte transversal de nuestro tanque:

 

diaghor

Se trata, como se ve, de una circunferencia centrada en el origen, con radio R. La altura a la que llega el líquido es h. Tenemos que calcular la suma del área de esos infinitos rectángulos cuya base mide 2x y su altura dy. Es decir, hay que calcular la siguiente integral:

\int _{ -R }^{ -R+h }{ 2xdy } =\int _{ -R }^{ -R+h }{ 2\sqrt { { R }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } dy } 

Pues bien, resulta que esta integral es: y\sqrt { { R }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } +{ R }^{ 2 }\arctan { \left( \frac { y }{ \sqrt { { R }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }  }  \right)  }, que tenemos que evaluar entre -R y -R+h, y el resultado es:

A\left( h \right) =\left( -R+h \right) \sqrt { h\left( 2R-h \right)  } +{ R }^{ 2 }\arctan { \left( \frac { -R+h }{ \sqrt { h\left( 2R-h \right)  }  }  \right)  } +\frac { \pi { R }^{ 2 } }{ 2 } 

Es una fórmula complicada y además tiene el inconveniente de que cuando h = 0 o h= 2R no está definida, así que habría que considerar los límites laterales correspondientes.

Consideremos otra alternativa:

Triogonometría:

El siguiente es un esquema que representa un corte transversal del cilindro:

trigo

La idea es calcular el área del sector circular OACB, el área del triángulo AOB y finalmente restarle a áquel el área de este.

Área del sector circular:

 { A }_{ s }=\frac { \theta  }{ 2 } { R }^{ 2 }, (   \theta es el ángulo en O )

Área del triángulo AOB:

Primero calculo la base AB del triángulo. Para ello se usa el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ODB. Así obtenemos:

{ R }^{ 2 }={ \left( R-h \right)  }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } ,    (x=DB)

x=\sqrt { { R }^{ 2 }-{ \left( R-h \right)  }^{ 2 } }  y por lo tanto el área de AOB es

{ A }_{ T }=\left( R-h \right) \sqrt { { R }^{ 2 }-{ \left( R-h \right)  }^{ 2 } } 

Utilizando ambas fórmulas se obtiene que el área buscada es:

A=\frac { \theta  }{ 2 } { R }^{ 2 }-\left( R-h \right) \sqrt { { R }^{ 2 }-{ \left( R-h \right)  }^{ 2 } } .

Pero esta fórmula no es muy útil ya que depende del ángulo que forman los radios. No pasa nada, se puede utilizar trigonometría básica para solucionar ese problema:

trigo2

El ángulo en O es \frac { \theta  }{ 2 } , por lo tanto, de la definición del coseno obtenemos: \cos { \left( \frac { \theta  }{ 2 }  \right) =\frac { R-h }{ R }  } y \theta =2\arccos { \left( \frac { R-h }{ R }  \right)  }.

Y ya acabamos, sólo hay que sustituir en la fórmula anterior para obtener el área que buscamos:

A={ R }^{ 2 }\arccos { \left( \frac { R-h }{ R }  \right) -\left( R-h \right) \sqrt { { R }^{ 2 }-{ \left( R-h \right)  }^{ 2 } }  }

Aunque las dos fórmulas que hemos obtenido parecen distintas en realidad nos dan los mismos valores.

Se me olvidaba!!!! Las fórmulas anteriores nos dan el área de una sección transversal del líquido. Para hallar el volumen tenemos que multiplicar por la longitud del cilindro.